numeros enteros y sus propiedades

numeros enteros y sus propiedades



Propiedades de clausura [editar]Si , existen tales que:y, de esto,De la clausura de la adición sobre , se sigue, por definición, queSe tiene que la adición sobre el conjunto de los números enteros verifica la propiedad de clausura:Para cualesquieraLo mismo cumple la multiplicación sobre :Para cualesquieraPropiedades asociativas [editar]Las propiedades asociativas de la adición y la multiplicación sobre se siguen fácilmente de las definiciones de estas operaciones. Estas propiedades son:Para cualesquierayPara cualesquieraPropiedades conmutativas [editar]Puesto que,para cualesquiera , tenmos quePara cualesquieraEsta es la propiedad conmutativa de la adición sobre . Esta propiedad la tiene también la multiplicación:Para cualesquieraPropiedad distributiva [editar]Sean los enteros [(a,b)], [(c,d)] y [(m,n)]. Tenemos.Por tanto se cumple la siguiente propiedad distributivaPara cualesquieraExistencia de elementos neutros [editar]El cero, 0 = [(n,n)], , tiene la característica de que para todo entero [(a,b)],y como a + (b + n) = b + (a + n) sean cuales sean los números naturales a,b,n, tenemos , de donde , por lo que el cero es un elemento neutro para la adición sobre . Enpara todo .términos más sencillos,Se define como sigue:.Vemos que, para todo entero [(a,b)],y, puesto que , resulta que 1 es un elemento neutro para la multiplicación sobre . Es decir,para todo .a+b _ cExistencia de elemento opuesto [editar]Para cada número existe un elemento opuesto que denotaremos por tal que:Para demostrar que existe el elemento opuesto podemos constrirlo explícitamente como , que cumple obviamente la propiedad anterior:Unicidad del elemento opuesto [editar]Además este opuesto es único. Esto significa que para cada entero existe un único número tal que sumado con él el resultado es cero. Para verlo podemos suponer que existen dos opuestos y , entonces sucede que:En esta prueba de que el elemento opuesto hemos usado la propiedad asociativa y la unicidad del elemento neutro.Propiedades cancelativas [editar]Sean y a + b = a + c. Tenemos que gracias a la existencia del elemento opuesto:Por tanto, se cumple la siguiente propiedad cancelativaPara todo .Para la multiplicación también se cumple la propiedad cancelativa, aunque para demostrar esto debe utilizarse un método distinto, ya que no todo elemento de es una unidad (esto es, no todo entero tiene un inverso), y por tanto , con su multiplicación, no es un anillo de división. La prueba que sigue de la propiedad cancelativa para la multiplicación se basa en el hecho de que es un dominio íntegro. Sean pues , y ab = ac con . Tenemos que ab − ac = 0, y de la propiedad distributiva a(b − c) = 0, o sea que b − c = 0, lo que demuestra que b = c.Se cumple pues la propiedad cancelativa siguientePara todo , con .Propiedades de Orden [editar]Propiedad reflexiva del orden [editar]a ≤ aPropiedad antisimétrica del orden [editar]Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b.Propiedad transitiva del orden [editar]Si a < id="Compatibilidad_del_orden_con_las_operaciones" name="Compatibilidad_del_orden_con_las_operaciones">Compatibilidad del orden con las operaciones [editar]Si a ≤ b entonces a+c ≤ b+c,para todo c ∈.y si c ≥ 0, con a ≤ b entonces a c ≤ b c propiedades de los numeros enteros