miércoles, 18 de marzo de 2009
miércoles, 11 de marzo de 2009
numeros racionales
Números racionales e irracionales
Los números reales e imaginarios constituyen el sistema numérico del álgebra. Los números imaginarios se explican en páginas mas adelante en este curso. Los números reales son racionales o irracionales. La palabra RACIONAL viene del vocablo "razón". Un número es racional si puede expresarse como cociente, o raíz, o por dos números enteros. Los números racionales incluyen números como 2/7, números enteros y radicales, si el signo radical puede eliminarse.
Todo número entero es racional. Su denominador es 1. Por ejemplo, 8 es igual a 8/1, que es el cociente de dos enteros. Un número como es racional puesto que puede expresarse como el cociente de dos enteros en la forma 4/1. Los siguientes son también ejemplos de números racionales:
Todo número racional puede expresarse como el cociente de dos enteros en muchas formas. Por ejemplo,
Un número IRRACIONAL es un número real que no puede expresarse como la relación de dos enteros, son ejemplos de números irracionales.
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
Expresiones tales como poseen números irracionales en el denominador. Si los denominadores se convierten a decimales, como en
el proceso de calcular una fracción se transforma en un engorroso ejercicio de división. Tal fracción puede calcularse rápidamente transformando primero el denominador a número racional. Convertir una fracción con un número irracional en su denominador a una fracción equivalente con un número racional en el denominador se llama RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR.
Multiplicando una fracción por 1 no se altera el valor de ésta. Visto que todo número dividido por sí mismo es igual a 1 tenemos, por ejemplo, que
Si el numerador y denominador de se multiplican ambos por , se obtiene otra fracción del mismo valor. El resultado es
El denominador de la nueva fracción equivalente es 2, que es racional. El valor decimal de la fracción es
Para racionalizar el denominador en multiplicamos numerador y denominador por . Resulta:
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Racionalizar el denominador en cada una de las siguientes:
CALCULO DE RADICALES
Toda expresión radical posee un equivalente decimal que puede ser exacto si el radicando es un número racional. Si el radicando no es racional la raíz se expresará como una aproximación decimal pero nunca será exacta. Puede emplearse un procedimiento similar a la división larga para calcular la raíz cuadrada y la raíz cúbica, y las raíces superiores pueden calcularse por métodos basados en logaritmos y en matemáticas superiores. Las tablas de potencias y raíces se han calculado para utilizar en aquellos campos científicos en los cuales es necesario trabajar a menudo con raíces.
Proceso de la raíz cuadrada
El proceso aritmético para calcular la raíz cuadrada se esboza en los siguientes párrafos
1. Comenzando en la coma decimal se separa el número en grupos de dos dígitos, desplazandose a la derecha y a la izquierda de la coma decimal. De aquí podrá quedar un dígito impar a la izquierda o a la derecha del número o a ambos lados. Por ejemplo, supongamos que el numero cuya raíz cuadrada buscamos es 9025. El número separado como se lo especificó sería:
2. Determinar el número más grande cuyo cuadro está contenido en el grupo de la izquierda (90). Este número es 9, ya que el cuadrado de 9 es 81. Escribir 9 encima del primer grupo. Elevar este número (9) al cuadrado, colocar su cuadrado en el grupo de la izquierda y restar como sigue:
Bajar el siguiente grupo (25) y colocarlo al lado de 9 como se indica. "Éste es el nuevo dividendo (925).
3. Multiplicando el primer dígito en la raíz (9) por 20 se obtiene 180 como divisor de prueba. Este divisor de prueba está contenido en el nuevo dividendo (925) cinco veces; entonces, el segundo dígito de la raíz parece ser 5. Sin embargo, este número debe sumarse al divisor de prueba para obtener un "verdadero divisor". Si el verdadero divisor es demasiado grande para usarlo con el dígito del segundo cociente este dígito se reducirá en 1. El procedimiento para el paso 3 se ilustra como sigue:
El número 180 resultante de la multiplicación de 9 por 20 se escribe como un divisor de prueba al lado del nuevo dividendo (925), como se indica. Se escribe el dígito del cociente (5) y se ajusta el divisor de prueba, que se transforma en 185. El cociente de prueba (180) se tacha.
4. El verdadero divisor (185) se multiplica por el segundo dígito (5) y el producto se coloca debajo del nuevo dividendo (925). Este paso se indica en la ilustración para,el paso 3. Cuando se resta el producto del nuevo dividendo en el paso 4 la diferencia es cero; entonces, en este caso, la raíz es exacta.
5. En algunos problemas la diferencia no es cero después que todos los dígitos del número original se han usado para formar nuevos dividendos. Tales problemas podrían resolverse agregando ceros a la derecha del número original, como se efectúa en una división larga. No obstante, en el proceso de la raíz cuadrada los ceros deben agregarse en grupos de dos.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Determinar la raíz cuadrada de cada uno de los siguientes números:
Los números reales e imaginarios constituyen el sistema numérico del álgebra. Los números imaginarios se explican en páginas mas adelante en este curso. Los números reales son racionales o irracionales. La palabra RACIONAL viene del vocablo "razón". Un número es racional si puede expresarse como cociente, o raíz, o por dos números enteros. Los números racionales incluyen números como 2/7, números enteros y radicales, si el signo radical puede eliminarse.
Todo número entero es racional. Su denominador es 1. Por ejemplo, 8 es igual a 8/1, que es el cociente de dos enteros. Un número como es racional puesto que puede expresarse como el cociente de dos enteros en la forma 4/1. Los siguientes son también ejemplos de números racionales:
Todo número racional puede expresarse como el cociente de dos enteros en muchas formas. Por ejemplo,
Un número IRRACIONAL es un número real que no puede expresarse como la relación de dos enteros, son ejemplos de números irracionales.
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
Expresiones tales como poseen números irracionales en el denominador. Si los denominadores se convierten a decimales, como en
el proceso de calcular una fracción se transforma en un engorroso ejercicio de división. Tal fracción puede calcularse rápidamente transformando primero el denominador a número racional. Convertir una fracción con un número irracional en su denominador a una fracción equivalente con un número racional en el denominador se llama RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR.
Multiplicando una fracción por 1 no se altera el valor de ésta. Visto que todo número dividido por sí mismo es igual a 1 tenemos, por ejemplo, que
Si el numerador y denominador de se multiplican ambos por , se obtiene otra fracción del mismo valor. El resultado es
El denominador de la nueva fracción equivalente es 2, que es racional. El valor decimal de la fracción es
Para racionalizar el denominador en multiplicamos numerador y denominador por . Resulta:
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Racionalizar el denominador en cada una de las siguientes:
CALCULO DE RADICALES
Toda expresión radical posee un equivalente decimal que puede ser exacto si el radicando es un número racional. Si el radicando no es racional la raíz se expresará como una aproximación decimal pero nunca será exacta. Puede emplearse un procedimiento similar a la división larga para calcular la raíz cuadrada y la raíz cúbica, y las raíces superiores pueden calcularse por métodos basados en logaritmos y en matemáticas superiores. Las tablas de potencias y raíces se han calculado para utilizar en aquellos campos científicos en los cuales es necesario trabajar a menudo con raíces.
Proceso de la raíz cuadrada
El proceso aritmético para calcular la raíz cuadrada se esboza en los siguientes párrafos
1. Comenzando en la coma decimal se separa el número en grupos de dos dígitos, desplazandose a la derecha y a la izquierda de la coma decimal. De aquí podrá quedar un dígito impar a la izquierda o a la derecha del número o a ambos lados. Por ejemplo, supongamos que el numero cuya raíz cuadrada buscamos es 9025. El número separado como se lo especificó sería:
2. Determinar el número más grande cuyo cuadro está contenido en el grupo de la izquierda (90). Este número es 9, ya que el cuadrado de 9 es 81. Escribir 9 encima del primer grupo. Elevar este número (9) al cuadrado, colocar su cuadrado en el grupo de la izquierda y restar como sigue:
Bajar el siguiente grupo (25) y colocarlo al lado de 9 como se indica. "Éste es el nuevo dividendo (925).
3. Multiplicando el primer dígito en la raíz (9) por 20 se obtiene 180 como divisor de prueba. Este divisor de prueba está contenido en el nuevo dividendo (925) cinco veces; entonces, el segundo dígito de la raíz parece ser 5. Sin embargo, este número debe sumarse al divisor de prueba para obtener un "verdadero divisor". Si el verdadero divisor es demasiado grande para usarlo con el dígito del segundo cociente este dígito se reducirá en 1. El procedimiento para el paso 3 se ilustra como sigue:
El número 180 resultante de la multiplicación de 9 por 20 se escribe como un divisor de prueba al lado del nuevo dividendo (925), como se indica. Se escribe el dígito del cociente (5) y se ajusta el divisor de prueba, que se transforma en 185. El cociente de prueba (180) se tacha.
4. El verdadero divisor (185) se multiplica por el segundo dígito (5) y el producto se coloca debajo del nuevo dividendo (925). Este paso se indica en la ilustración para,el paso 3. Cuando se resta el producto del nuevo dividendo en el paso 4 la diferencia es cero; entonces, en este caso, la raíz es exacta.
5. En algunos problemas la diferencia no es cero después que todos los dígitos del número original se han usado para formar nuevos dividendos. Tales problemas podrían resolverse agregando ceros a la derecha del número original, como se efectúa en una división larga. No obstante, en el proceso de la raíz cuadrada los ceros deben agregarse en grupos de dos.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Determinar la raíz cuadrada de cada uno de los siguientes números:
numeros enteros y sus propiedades
numeros enteros y sus propiedades
Propiedades de clausura [editar]Si , existen tales que:y, de esto,De la clausura de la adición sobre , se sigue, por definición, queSe tiene que la adición sobre el conjunto de los números enteros verifica la propiedad de clausura:Para cualesquieraLo mismo cumple la multiplicación sobre :Para cualesquieraPropiedades asociativas [editar]Las propiedades asociativas de la adición y la multiplicación sobre se siguen fácilmente de las definiciones de estas operaciones. Estas propiedades son:Para cualesquierayPara cualesquieraPropiedades conmutativas [editar]Puesto que,para cualesquiera , tenmos quePara cualesquieraEsta es la propiedad conmutativa de la adición sobre . Esta propiedad la tiene también la multiplicación:Para cualesquieraPropiedad distributiva [editar]Sean los enteros [(a,b)], [(c,d)] y [(m,n)]. Tenemos.Por tanto se cumple la siguiente propiedad distributivaPara cualesquieraExistencia de elementos neutros [editar]El cero, 0 = [(n,n)], , tiene la característica de que para todo entero [(a,b)],y como a + (b + n) = b + (a + n) sean cuales sean los números naturales a,b,n, tenemos , de donde , por lo que el cero es un elemento neutro para la adición sobre . Enpara todo .términos más sencillos,Se define como sigue:.Vemos que, para todo entero [(a,b)],y, puesto que , resulta que 1 es un elemento neutro para la multiplicación sobre . Es decir,para todo .a+b _ cExistencia de elemento opuesto [editar]Para cada número existe un elemento opuesto que denotaremos por tal que:Para demostrar que existe el elemento opuesto podemos constrirlo explícitamente como , que cumple obviamente la propiedad anterior:Unicidad del elemento opuesto [editar]Además este opuesto es único. Esto significa que para cada entero existe un único número tal que sumado con él el resultado es cero. Para verlo podemos suponer que existen dos opuestos y , entonces sucede que:En esta prueba de que el elemento opuesto hemos usado la propiedad asociativa y la unicidad del elemento neutro.Propiedades cancelativas [editar]Sean y a + b = a + c. Tenemos que gracias a la existencia del elemento opuesto:Por tanto, se cumple la siguiente propiedad cancelativaPara todo .Para la multiplicación también se cumple la propiedad cancelativa, aunque para demostrar esto debe utilizarse un método distinto, ya que no todo elemento de es una unidad (esto es, no todo entero tiene un inverso), y por tanto , con su multiplicación, no es un anillo de división. La prueba que sigue de la propiedad cancelativa para la multiplicación se basa en el hecho de que es un dominio íntegro. Sean pues , y ab = ac con . Tenemos que ab − ac = 0, y de la propiedad distributiva a(b − c) = 0, o sea que b − c = 0, lo que demuestra que b = c.Se cumple pues la propiedad cancelativa siguientePara todo , con .Propiedades de Orden [editar]Propiedad reflexiva del orden [editar]a ≤ aPropiedad antisimétrica del orden [editar]Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b.Propiedad transitiva del orden [editar]Si a < id="Compatibilidad_del_orden_con_las_operaciones" name="Compatibilidad_del_orden_con_las_operaciones">Compatibilidad del orden con las operaciones [editar]Si a ≤ b entonces a+c ≤ b+c,para todo c ∈.y si c ≥ 0, con a ≤ b entonces a c ≤ b c propiedades de los numeros enteros
Propiedades de clausura [editar]Si , existen tales que:y, de esto,De la clausura de la adición sobre , se sigue, por definición, queSe tiene que la adición sobre el conjunto de los números enteros verifica la propiedad de clausura:Para cualesquieraLo mismo cumple la multiplicación sobre :Para cualesquieraPropiedades asociativas [editar]Las propiedades asociativas de la adición y la multiplicación sobre se siguen fácilmente de las definiciones de estas operaciones. Estas propiedades son:Para cualesquierayPara cualesquieraPropiedades conmutativas [editar]Puesto que,para cualesquiera , tenmos quePara cualesquieraEsta es la propiedad conmutativa de la adición sobre . Esta propiedad la tiene también la multiplicación:Para cualesquieraPropiedad distributiva [editar]Sean los enteros [(a,b)], [(c,d)] y [(m,n)]. Tenemos.Por tanto se cumple la siguiente propiedad distributivaPara cualesquieraExistencia de elementos neutros [editar]El cero, 0 = [(n,n)], , tiene la característica de que para todo entero [(a,b)],y como a + (b + n) = b + (a + n) sean cuales sean los números naturales a,b,n, tenemos , de donde , por lo que el cero es un elemento neutro para la adición sobre . Enpara todo .términos más sencillos,Se define como sigue:.Vemos que, para todo entero [(a,b)],y, puesto que , resulta que 1 es un elemento neutro para la multiplicación sobre . Es decir,para todo .a+b _ cExistencia de elemento opuesto [editar]Para cada número existe un elemento opuesto que denotaremos por tal que:Para demostrar que existe el elemento opuesto podemos constrirlo explícitamente como , que cumple obviamente la propiedad anterior:Unicidad del elemento opuesto [editar]Además este opuesto es único. Esto significa que para cada entero existe un único número tal que sumado con él el resultado es cero. Para verlo podemos suponer que existen dos opuestos y , entonces sucede que:En esta prueba de que el elemento opuesto hemos usado la propiedad asociativa y la unicidad del elemento neutro.Propiedades cancelativas [editar]Sean y a + b = a + c. Tenemos que gracias a la existencia del elemento opuesto:Por tanto, se cumple la siguiente propiedad cancelativaPara todo .Para la multiplicación también se cumple la propiedad cancelativa, aunque para demostrar esto debe utilizarse un método distinto, ya que no todo elemento de es una unidad (esto es, no todo entero tiene un inverso), y por tanto , con su multiplicación, no es un anillo de división. La prueba que sigue de la propiedad cancelativa para la multiplicación se basa en el hecho de que es un dominio íntegro. Sean pues , y ab = ac con . Tenemos que ab − ac = 0, y de la propiedad distributiva a(b − c) = 0, o sea que b − c = 0, lo que demuestra que b = c.Se cumple pues la propiedad cancelativa siguientePara todo , con .Propiedades de Orden [editar]Propiedad reflexiva del orden [editar]a ≤ aPropiedad antisimétrica del orden [editar]Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b.Propiedad transitiva del orden [editar]Si a < id="Compatibilidad_del_orden_con_las_operaciones" name="Compatibilidad_del_orden_con_las_operaciones">Compatibilidad del orden con las operaciones [editar]Si a ≤ b entonces a+c ≤ b+c,para todo c ∈.y si c ≥ 0, con a ≤ b entonces a c ≤ b c propiedades de los numeros enteros
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