Tomados dos puntos de una recta, la pendiente , es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación:
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente:
Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m es la tangente de la recta con el eje de abscisas X.
Forma simplificada de la ecuación de la recta [editar]Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, y2 − y1 = m(x2 − x1):
Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.
Forma segmentaria de la ecuación de la recta (Ecuación simétrica) [editar]Así como a la ordenada al origen se le puede llamar b, a la abscisa al origen se le puede llamar a. Si se plantea como problema encontrar la ecuación de una recta, conocidos a y b (la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos de la recta los cuales son los siguientes:
y
Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primero se debe calcular la pendiente:
Después se sustituye en la ecuación y2 − y1 = m(x2 − x1), usando cualquiera de los dos puntos, en este caso (a, 0):
Por último se tiene que dividir toda la ecuación entre el término independiente ab:
Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta ecuación se suele utilizar para obtener la ecuación de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la ecuación de una recta, se desean conocer los puntos donde dicha recta intersecta a los ejes.
Forma normal de la ecuación de la recta [editar]Esta es la forma normal de la recta:
Donde k que es una constante que nos ayudará a obtener la forma normal, la cual se puede obtener de la forma general de la recta.
Sacando raiz cuadrada a la suma de los cuadrados de A y B . Como sigue:
Con el número k podemos obtener a cosω y a senω de la misma ecuación general de la recta, dividiendo a A y B entre k y para calcular p dividimos a C entre k.
Debemos tener cuidado al calcular C, por que C=-kp, entonces si C>0 (es positiva) tomaremos el valor negativo de k (y será el mismo todas las veces que usemos a k en la misma ecuación), cuando C<0 (es negativa) usaremos el valor positivo de k.[2]
La recta en coordenadas cartesianas [editar]
La ecuación explícita de una recta en el plano, por ejemplo la recta r responde a la fórmula general:
La ecuación anterior debe cumplirse en los puntos A y B, de modo que:
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
m se denomina pendiente de la recta y su valor es el de la tangente del ángulo (α) que forma la recta con el eje x.
m es el resultado de dividir la diferencia ordenadas entre la diferencia de abscisas de un par de puntos cualesquiera de la recta.
n representa el punto de intersección de la recta con el eje Y (eje de ordenadas).
Rectas notables [editar]La ecuación de una recta vertical, tal como la v, responde a la ecuación general x = xv (constante).
La ecuación de una recta horizontal, tal como la h, responde a la ecuación general y = yh (constante).
Una recta trigonoidal, tal como la s, que pase por el origen O (0, 0), cumplirá la condición n = 0, siendo su ecuación: .
Dos rectas cualesquiera:
serán paralelas si y solo si . Además, serán coincidentes cuando:
serán perpendiculares si y sólo si , es decir:
Rectas que pasan por un punto [editar]Determinar las rectas del plano que pasan por el punto (x0,y0).
La ecuación de la recta ha de ser, como ya se sabe:
Y ha de pasar por el punto (x0,y0), luego tendrá que cumplirse:
Despejando b, tenemos esta ecuación:
Sustituyendo b en la ecuación general de la recta:
Ordenando términos:
Esta ecuación define un haz de rectas en el plano que pasa por el punto (x0,y0), el valor de m es la pendiente de cada una de las rectas que forman parte del haz, m puede tomar un valor real cualesquiera.
Recta que pasa por dos puntos [editar]Determinar la recta del plano que pasan por los puntos (x1,y1) y (x2,y2).
Como en el caso anterior, la ecuación de la recta es:
Y ha de pasar por los puntos (x1,y1) y (x2,y2) luego tendrá que cumplirse:
que forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, las incógnitas son m y b, para resolver este sistema, cambiamos de signo a la segunda ecuación y sumando las dos ecuaciones:
agrupando términos:
despejando m:
este valor, m, es el de la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos: (x1,y1) y (x2,y2).
Despejando ahora el valor de b de una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo de la primera, tenemos:
y sustituyendo m, por su valor ya calculado;
Tenemos las dos incógnitas m y b despejadas, en función de las coordenadas de los dos puntos por los que tienen que pasar, la ecuación general de la recta, con los parámetros ya calculados es:
ordenando términos:
Que es una recta en el plano que pasa por los puntos (x1,y1) y (x2,y2), como ya se ha dicho.
Una relación curiosa de la ecuación anterior es:
y que dice que la pendiente entre un punto cualesquiera (x,y), de la recta que pasa por dos puntos, y el punto (x1,y1), es la misma que la que hay entre los puntos (x1,y1) y (x2,y2) que definen la recta.
Rectas perpendiculares [editar]Dada una recta:
Se trata de determinar que rectas:
son perpendiculares a la primera.
Sabiendo que:
Siendo α el ángulo que forma la recta con la horizontal, cualquier recta perpendicular a ella ha de formar un ángulo (α + 90) con la horizontal, por trigonometría sabemos que:
y si la pendiente de la primera recta es:
la de la segunde debe de ser:
Esto es, dada una recta cualquiera:
cualquier recta de la forma:
Es perpendicular a la primera, para cualquier valor del parámetro b.
Es fácil percatarse que las ordenadas en el origen de las rectas, no intervienen para determinar las rectas perpendiculares, esto es porque la perpendicularidad es un problema de dirección, y los puntos por los que pasa la recta no influyen, si la primera recta la sustituimos por una paralela a ella, el problema no se altera en absoluto, y el resultado es un conjunto de rectas paralelas, definidas por la pendiente y no por el punto concreto por el que pasa.
miércoles, 15 de abril de 2009
miércoles, 18 de marzo de 2009
miércoles, 11 de marzo de 2009
numeros racionales
Números racionales e irracionales
Los números reales e imaginarios constituyen el sistema numérico del álgebra. Los números imaginarios se explican en páginas mas adelante en este curso. Los números reales son racionales o irracionales. La palabra RACIONAL viene del vocablo "razón". Un número es racional si puede expresarse como cociente, o raíz, o por dos números enteros. Los números racionales incluyen números como 2/7, números enteros y radicales, si el signo radical puede eliminarse.
Todo número entero es racional. Su denominador es 1. Por ejemplo, 8 es igual a 8/1, que es el cociente de dos enteros. Un número como es racional puesto que puede expresarse como el cociente de dos enteros en la forma 4/1. Los siguientes son también ejemplos de números racionales:
Todo número racional puede expresarse como el cociente de dos enteros en muchas formas. Por ejemplo,
Un número IRRACIONAL es un número real que no puede expresarse como la relación de dos enteros, son ejemplos de números irracionales.
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
Expresiones tales como poseen números irracionales en el denominador. Si los denominadores se convierten a decimales, como en
el proceso de calcular una fracción se transforma en un engorroso ejercicio de división. Tal fracción puede calcularse rápidamente transformando primero el denominador a número racional. Convertir una fracción con un número irracional en su denominador a una fracción equivalente con un número racional en el denominador se llama RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR.
Multiplicando una fracción por 1 no se altera el valor de ésta. Visto que todo número dividido por sí mismo es igual a 1 tenemos, por ejemplo, que
Si el numerador y denominador de se multiplican ambos por , se obtiene otra fracción del mismo valor. El resultado es
El denominador de la nueva fracción equivalente es 2, que es racional. El valor decimal de la fracción es
Para racionalizar el denominador en multiplicamos numerador y denominador por . Resulta:
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Racionalizar el denominador en cada una de las siguientes:
CALCULO DE RADICALES
Toda expresión radical posee un equivalente decimal que puede ser exacto si el radicando es un número racional. Si el radicando no es racional la raíz se expresará como una aproximación decimal pero nunca será exacta. Puede emplearse un procedimiento similar a la división larga para calcular la raíz cuadrada y la raíz cúbica, y las raíces superiores pueden calcularse por métodos basados en logaritmos y en matemáticas superiores. Las tablas de potencias y raíces se han calculado para utilizar en aquellos campos científicos en los cuales es necesario trabajar a menudo con raíces.
Proceso de la raíz cuadrada
El proceso aritmético para calcular la raíz cuadrada se esboza en los siguientes párrafos
1. Comenzando en la coma decimal se separa el número en grupos de dos dígitos, desplazandose a la derecha y a la izquierda de la coma decimal. De aquí podrá quedar un dígito impar a la izquierda o a la derecha del número o a ambos lados. Por ejemplo, supongamos que el numero cuya raíz cuadrada buscamos es 9025. El número separado como se lo especificó sería:
2. Determinar el número más grande cuyo cuadro está contenido en el grupo de la izquierda (90). Este número es 9, ya que el cuadrado de 9 es 81. Escribir 9 encima del primer grupo. Elevar este número (9) al cuadrado, colocar su cuadrado en el grupo de la izquierda y restar como sigue:
Bajar el siguiente grupo (25) y colocarlo al lado de 9 como se indica. "Éste es el nuevo dividendo (925).
3. Multiplicando el primer dígito en la raíz (9) por 20 se obtiene 180 como divisor de prueba. Este divisor de prueba está contenido en el nuevo dividendo (925) cinco veces; entonces, el segundo dígito de la raíz parece ser 5. Sin embargo, este número debe sumarse al divisor de prueba para obtener un "verdadero divisor". Si el verdadero divisor es demasiado grande para usarlo con el dígito del segundo cociente este dígito se reducirá en 1. El procedimiento para el paso 3 se ilustra como sigue:
El número 180 resultante de la multiplicación de 9 por 20 se escribe como un divisor de prueba al lado del nuevo dividendo (925), como se indica. Se escribe el dígito del cociente (5) y se ajusta el divisor de prueba, que se transforma en 185. El cociente de prueba (180) se tacha.
4. El verdadero divisor (185) se multiplica por el segundo dígito (5) y el producto se coloca debajo del nuevo dividendo (925). Este paso se indica en la ilustración para,el paso 3. Cuando se resta el producto del nuevo dividendo en el paso 4 la diferencia es cero; entonces, en este caso, la raíz es exacta.
5. En algunos problemas la diferencia no es cero después que todos los dígitos del número original se han usado para formar nuevos dividendos. Tales problemas podrían resolverse agregando ceros a la derecha del número original, como se efectúa en una división larga. No obstante, en el proceso de la raíz cuadrada los ceros deben agregarse en grupos de dos.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Determinar la raíz cuadrada de cada uno de los siguientes números:
Los números reales e imaginarios constituyen el sistema numérico del álgebra. Los números imaginarios se explican en páginas mas adelante en este curso. Los números reales son racionales o irracionales. La palabra RACIONAL viene del vocablo "razón". Un número es racional si puede expresarse como cociente, o raíz, o por dos números enteros. Los números racionales incluyen números como 2/7, números enteros y radicales, si el signo radical puede eliminarse.
Todo número entero es racional. Su denominador es 1. Por ejemplo, 8 es igual a 8/1, que es el cociente de dos enteros. Un número como es racional puesto que puede expresarse como el cociente de dos enteros en la forma 4/1. Los siguientes son también ejemplos de números racionales:
Todo número racional puede expresarse como el cociente de dos enteros en muchas formas. Por ejemplo,
Un número IRRACIONAL es un número real que no puede expresarse como la relación de dos enteros, son ejemplos de números irracionales.
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
Expresiones tales como poseen números irracionales en el denominador. Si los denominadores se convierten a decimales, como en
el proceso de calcular una fracción se transforma en un engorroso ejercicio de división. Tal fracción puede calcularse rápidamente transformando primero el denominador a número racional. Convertir una fracción con un número irracional en su denominador a una fracción equivalente con un número racional en el denominador se llama RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR.
Multiplicando una fracción por 1 no se altera el valor de ésta. Visto que todo número dividido por sí mismo es igual a 1 tenemos, por ejemplo, que
Si el numerador y denominador de se multiplican ambos por , se obtiene otra fracción del mismo valor. El resultado es
El denominador de la nueva fracción equivalente es 2, que es racional. El valor decimal de la fracción es
Para racionalizar el denominador en multiplicamos numerador y denominador por . Resulta:
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Racionalizar el denominador en cada una de las siguientes:
CALCULO DE RADICALES
Toda expresión radical posee un equivalente decimal que puede ser exacto si el radicando es un número racional. Si el radicando no es racional la raíz se expresará como una aproximación decimal pero nunca será exacta. Puede emplearse un procedimiento similar a la división larga para calcular la raíz cuadrada y la raíz cúbica, y las raíces superiores pueden calcularse por métodos basados en logaritmos y en matemáticas superiores. Las tablas de potencias y raíces se han calculado para utilizar en aquellos campos científicos en los cuales es necesario trabajar a menudo con raíces.
Proceso de la raíz cuadrada
El proceso aritmético para calcular la raíz cuadrada se esboza en los siguientes párrafos
1. Comenzando en la coma decimal se separa el número en grupos de dos dígitos, desplazandose a la derecha y a la izquierda de la coma decimal. De aquí podrá quedar un dígito impar a la izquierda o a la derecha del número o a ambos lados. Por ejemplo, supongamos que el numero cuya raíz cuadrada buscamos es 9025. El número separado como se lo especificó sería:
2. Determinar el número más grande cuyo cuadro está contenido en el grupo de la izquierda (90). Este número es 9, ya que el cuadrado de 9 es 81. Escribir 9 encima del primer grupo. Elevar este número (9) al cuadrado, colocar su cuadrado en el grupo de la izquierda y restar como sigue:
Bajar el siguiente grupo (25) y colocarlo al lado de 9 como se indica. "Éste es el nuevo dividendo (925).
3. Multiplicando el primer dígito en la raíz (9) por 20 se obtiene 180 como divisor de prueba. Este divisor de prueba está contenido en el nuevo dividendo (925) cinco veces; entonces, el segundo dígito de la raíz parece ser 5. Sin embargo, este número debe sumarse al divisor de prueba para obtener un "verdadero divisor". Si el verdadero divisor es demasiado grande para usarlo con el dígito del segundo cociente este dígito se reducirá en 1. El procedimiento para el paso 3 se ilustra como sigue:
El número 180 resultante de la multiplicación de 9 por 20 se escribe como un divisor de prueba al lado del nuevo dividendo (925), como se indica. Se escribe el dígito del cociente (5) y se ajusta el divisor de prueba, que se transforma en 185. El cociente de prueba (180) se tacha.
4. El verdadero divisor (185) se multiplica por el segundo dígito (5) y el producto se coloca debajo del nuevo dividendo (925). Este paso se indica en la ilustración para,el paso 3. Cuando se resta el producto del nuevo dividendo en el paso 4 la diferencia es cero; entonces, en este caso, la raíz es exacta.
5. En algunos problemas la diferencia no es cero después que todos los dígitos del número original se han usado para formar nuevos dividendos. Tales problemas podrían resolverse agregando ceros a la derecha del número original, como se efectúa en una división larga. No obstante, en el proceso de la raíz cuadrada los ceros deben agregarse en grupos de dos.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS:
Determinar la raíz cuadrada de cada uno de los siguientes números:
numeros enteros y sus propiedades
numeros enteros y sus propiedades
Propiedades de clausura [editar]Si , existen tales que:y, de esto,De la clausura de la adición sobre , se sigue, por definición, queSe tiene que la adición sobre el conjunto de los números enteros verifica la propiedad de clausura:Para cualesquieraLo mismo cumple la multiplicación sobre :Para cualesquieraPropiedades asociativas [editar]Las propiedades asociativas de la adición y la multiplicación sobre se siguen fácilmente de las definiciones de estas operaciones. Estas propiedades son:Para cualesquierayPara cualesquieraPropiedades conmutativas [editar]Puesto que,para cualesquiera , tenmos quePara cualesquieraEsta es la propiedad conmutativa de la adición sobre . Esta propiedad la tiene también la multiplicación:Para cualesquieraPropiedad distributiva [editar]Sean los enteros [(a,b)], [(c,d)] y [(m,n)]. Tenemos.Por tanto se cumple la siguiente propiedad distributivaPara cualesquieraExistencia de elementos neutros [editar]El cero, 0 = [(n,n)], , tiene la característica de que para todo entero [(a,b)],y como a + (b + n) = b + (a + n) sean cuales sean los números naturales a,b,n, tenemos , de donde , por lo que el cero es un elemento neutro para la adición sobre . Enpara todo .términos más sencillos,Se define como sigue:.Vemos que, para todo entero [(a,b)],y, puesto que , resulta que 1 es un elemento neutro para la multiplicación sobre . Es decir,para todo .a+b _ cExistencia de elemento opuesto [editar]Para cada número existe un elemento opuesto que denotaremos por tal que:Para demostrar que existe el elemento opuesto podemos constrirlo explícitamente como , que cumple obviamente la propiedad anterior:Unicidad del elemento opuesto [editar]Además este opuesto es único. Esto significa que para cada entero existe un único número tal que sumado con él el resultado es cero. Para verlo podemos suponer que existen dos opuestos y , entonces sucede que:En esta prueba de que el elemento opuesto hemos usado la propiedad asociativa y la unicidad del elemento neutro.Propiedades cancelativas [editar]Sean y a + b = a + c. Tenemos que gracias a la existencia del elemento opuesto:Por tanto, se cumple la siguiente propiedad cancelativaPara todo .Para la multiplicación también se cumple la propiedad cancelativa, aunque para demostrar esto debe utilizarse un método distinto, ya que no todo elemento de es una unidad (esto es, no todo entero tiene un inverso), y por tanto , con su multiplicación, no es un anillo de división. La prueba que sigue de la propiedad cancelativa para la multiplicación se basa en el hecho de que es un dominio íntegro. Sean pues , y ab = ac con . Tenemos que ab − ac = 0, y de la propiedad distributiva a(b − c) = 0, o sea que b − c = 0, lo que demuestra que b = c.Se cumple pues la propiedad cancelativa siguientePara todo , con .Propiedades de Orden [editar]Propiedad reflexiva del orden [editar]a ≤ aPropiedad antisimétrica del orden [editar]Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b.Propiedad transitiva del orden [editar]Si a < id="Compatibilidad_del_orden_con_las_operaciones" name="Compatibilidad_del_orden_con_las_operaciones">Compatibilidad del orden con las operaciones [editar]Si a ≤ b entonces a+c ≤ b+c,para todo c ∈.y si c ≥ 0, con a ≤ b entonces a c ≤ b c propiedades de los numeros enteros
Propiedades de clausura [editar]Si , existen tales que:y, de esto,De la clausura de la adición sobre , se sigue, por definición, queSe tiene que la adición sobre el conjunto de los números enteros verifica la propiedad de clausura:Para cualesquieraLo mismo cumple la multiplicación sobre :Para cualesquieraPropiedades asociativas [editar]Las propiedades asociativas de la adición y la multiplicación sobre se siguen fácilmente de las definiciones de estas operaciones. Estas propiedades son:Para cualesquierayPara cualesquieraPropiedades conmutativas [editar]Puesto que,para cualesquiera , tenmos quePara cualesquieraEsta es la propiedad conmutativa de la adición sobre . Esta propiedad la tiene también la multiplicación:Para cualesquieraPropiedad distributiva [editar]Sean los enteros [(a,b)], [(c,d)] y [(m,n)]. Tenemos.Por tanto se cumple la siguiente propiedad distributivaPara cualesquieraExistencia de elementos neutros [editar]El cero, 0 = [(n,n)], , tiene la característica de que para todo entero [(a,b)],y como a + (b + n) = b + (a + n) sean cuales sean los números naturales a,b,n, tenemos , de donde , por lo que el cero es un elemento neutro para la adición sobre . Enpara todo .términos más sencillos,Se define como sigue:.Vemos que, para todo entero [(a,b)],y, puesto que , resulta que 1 es un elemento neutro para la multiplicación sobre . Es decir,para todo .a+b _ cExistencia de elemento opuesto [editar]Para cada número existe un elemento opuesto que denotaremos por tal que:Para demostrar que existe el elemento opuesto podemos constrirlo explícitamente como , que cumple obviamente la propiedad anterior:Unicidad del elemento opuesto [editar]Además este opuesto es único. Esto significa que para cada entero existe un único número tal que sumado con él el resultado es cero. Para verlo podemos suponer que existen dos opuestos y , entonces sucede que:En esta prueba de que el elemento opuesto hemos usado la propiedad asociativa y la unicidad del elemento neutro.Propiedades cancelativas [editar]Sean y a + b = a + c. Tenemos que gracias a la existencia del elemento opuesto:Por tanto, se cumple la siguiente propiedad cancelativaPara todo .Para la multiplicación también se cumple la propiedad cancelativa, aunque para demostrar esto debe utilizarse un método distinto, ya que no todo elemento de es una unidad (esto es, no todo entero tiene un inverso), y por tanto , con su multiplicación, no es un anillo de división. La prueba que sigue de la propiedad cancelativa para la multiplicación se basa en el hecho de que es un dominio íntegro. Sean pues , y ab = ac con . Tenemos que ab − ac = 0, y de la propiedad distributiva a(b − c) = 0, o sea que b − c = 0, lo que demuestra que b = c.Se cumple pues la propiedad cancelativa siguientePara todo , con .Propiedades de Orden [editar]Propiedad reflexiva del orden [editar]a ≤ aPropiedad antisimétrica del orden [editar]Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b.Propiedad transitiva del orden [editar]Si a < id="Compatibilidad_del_orden_con_las_operaciones" name="Compatibilidad_del_orden_con_las_operaciones">Compatibilidad del orden con las operaciones [editar]Si a ≤ b entonces a+c ≤ b+c,para todo c ∈.y si c ≥ 0, con a ≤ b entonces a c ≤ b c propiedades de los numeros enteros
miércoles, 4 de febrero de 2009
yOooOOoOPP
hOla ....... pZ La vErDAd mE QuEdO Un PoQuItO GraNdE
SiN La aYuDa dEL PrOfE ....pErO Pz tOcA ApRenDeR jEjE
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